الوسم: البسيطة

جزء شبيه بالأوراق
الحافظة
جزء شبيه بالساق
الأبواغ

: كل من المعادلات التالية
11 = 3 – س 2 ، 9 = 4 + س ، 9 = س 3
تسمى معادلة فى مجهول واحد أو معادلة فى متغير واحد ونرمز له بالرمز س مثلاً

:حل المعادلة يعنى
ايجاد قيمة المتغير س الذى يحقق المعادلة
اى أن الطرف الايمن للمعادلة = الطرف الايسر للمعادلة

مجموعة حل المعادلة تعتمد على مجموعة التعويض
:وهى تتضح فى الامثلة التالية

:مثال 1
8 = 2 +س المعادلة أوجد مجموعة حل
{ -2 , 0 , 3 } إذا كانت مجموعة التعويض هى
الحــــــل
من مجموعة الحل نأخذ س = -2
الطرف الأيمن = -2 + 2 = 0 5 = 2 + س .:
لذلك الطرف الايمن للمعادلة ≠ الطرف الايسر الطرف الايسر= 5
اى أن س = -2 لاتحقق المعادلة أو س = -2 ليست حل للمعادلة
5 = 2 + س

الأيمن للمعادلة = 5 الطرف نأخذ س = 0
الطرف الأيسر للمعادلة = 0 + 2 = 2
الطرف الأيمن للمعادلة ≠ الطرف الأيسر للمعادلة
أى أن س = 0 لايحقق المعادلة
أى أن س = 0 ليست حل للمعادلة

الأيمن للمعادلة = 5 الطرف نأخذ س = 3
الطرف الأيسر للمعادلة = 3 + 2 = 5
س = 3 يحقق المعادلة
5 = 2 + س أى أن س = 3 حل للمعادلة

خواص علاقة التساوى

حل المعادلات البسيطة فى ص

: كل من المعادلات التالية
11 = 3 – س 2 ، 9 = 4 + س ، 9 = س 3
تسمى معادلة فى مجهول واحد أو معادلة فى متغير واحد ونرمز له بالرمز س مثلاً

:حل المعادلة يعنى
ايجاد قيمة المتغير س الذى يحقق المعادلة
اى أن الطرف الايمن للمعادلة = الطرف الايسر للمعادلة

مجموعة حل المعادلة تعتمد على مجموعة التعويض
:وهى تتضح فى الامثلة التالية

:مثال 1
8 = 2 +س المعادلة أوجد مجموعة حل
{ -2 , 0 , 3 } إذا كانت مجموعة التعويض هى
الحــــــل
من مجموعة الحل نأخذ س = -2
الطرف الأيمن = -2 + 2 = 0 5 = 2 + س .:
لذلك الطرف الايمن للمعادلة ≠ الطرف الايسر الطرف الايسر= 5
اى أن س = -2 لاتحقق المعادلة أو س = -2 ليست حل للمعادلة
5 = 2 + س

الأيمن للمعادلة = 5 الطرف نأخذ س = 0
الطرف الأيسر للمعادلة = 0 + 2 = 2
الطرف الأيمن للمعادلة ≠ الطرف الأيسر للمعادلة
أى أن س = 0 لايحقق المعادلة
أى أن س = 0 ليست حل للمعادلة

الأيمن للمعادلة = 5 الطرف نأخذ س = 3
الطرف الأيسر للمعادلة = 3 + 2 = 5
س = 3 يحقق المعادلة
5 = 2 + س أى أن س = 3 حل للمعادلة

خواص علاقة التساوى

أمـــثـــــلة

:مثال 2
إذا أضفنا 6 إلى ضعف عدد يكون الناتج مساوياً للمعكوس الجمعى لهذا العدد. أوجد هذا العدد
الحـــــل
:العلاقة المعطاة يمكن كتابتها كالآتى
ضعف العدد + 6 = المعكوس الجمعى للعدد
نرمز للعدد بالرمز س ، ضعفه يكون 2س ومعكوسه الجمعى – س لذلك
بإضافة -2س للطرفين -س = 6 + س 2
= -2س -س -2س + 2س + 6
س = -2 = (-3) × س (-3) × (-2)
ويكون العدد هو 2

:تمارين
عدد إذا أضفنا لضعفه 5 كان الناتج 15
أوجد هذا العدد
الحـــــل
نفرض العدد س يكون ضعفه 2س
15 = 5 + س 2
للطرفين
بإضافة 15 = 5 + س 2 .:

+ 15 =
+ 5 + س 2
10 = س 2
من الطرفين
بإختصار 5 × 2 = س × 2

العدد هو 5 = س

حل المتباينات

حل المتباينات فى ص

علاقة أقل من " < " فى ص
اذا كان أ ، ب ‘ ص
إننا نقول أن أ أصغر من ب إذا كان هناك عدد موجب جـ يحقق أن
ب = أ + جـ
أى أن أ < ب تعنى أن ب = أ + جـ عدد موجب
:فمثلاً
لأن 7 = 3 + 4 و 4 ‘ ص 7 < 3

لأن -2 = -5 + 3 و 3 ‘ ص -5 < -2

لأن 0 = -7 + 7 و 7 ‘ ص -7 < 0

:مثال 1
أوجد مجموعة حل كل من المتباينات الآتية فى ص
5 > 3 + س (جـ) 2 > س – (ب) 5 > 3 + س (أ)
الحـــــل
للطرفين (-3) بإضافة 5 > 3 + س .: (أ
(-3) + 5 > (-3) + 3 + س
2 > س
{ 1 , 0 , -1 , ….. }

= م.م
بضرب الطرفين فى -1 2 > س – .: (ب
-2 < س
{ -1 , 0 , 1 , … } وتكون م.م هى

أقل من أو يساوى يعنى ³ زمرلا (جـ
-6 ³ س 2 .:
بإختصار 2 2 (-3) ³ (س) 2
3- ³ س
{ – 4 , – 5 , – 6 , ….. } = م.م

:مثال 2
– 4 > 1 – س أوجد مجموعة الحل للمتباينة الآتية
ومثل الحل على خط الأعداد
الحـــــل
– 4 > 1 – س .:
بإضافة 1 للطرفين – 4 > 1 – س
1 + – 4 > 1 + 1 – س
3 – > س
{ – 4 , – 5 .- 6 , … } = م.م

:تمارين
أوجد مجموعة حل المتباينة 7 > 4 + س
الحـــــل
للطرفين
بإضافة 7 > 4 + س .:
+ 7
> س + 4 +

3 > س
{ } = م.م

خواص علاقة أقل من

خواص علاقة أقل من " < " فى ص

اذا كان أ ، ب ، جـ ‘ ص
إذا كان أ < ب إذن أ + جـ < ب + جـ
كذلك إذا كان أ + جـ < ب + جـ إذن أ < ب
أى أننا يمكننا أن نضيف أو نطرح أى عدد صحيح من طرفى المتباينة

(1)

إذا كان أ < ب ، جـ عدد صحيح موجب إذاً أ × جـ < ب × جـ
و إذا كان أ × جـ < ب × جـ ، جـ عدد صحيح موجب إذاً أ < ب
أى أننا يمكننا نضرب أو نقسم طرفى المتباينة بواسطة أى عدد صحيح موجب

(2)

إذا كان أ < ب ، جـ عدد صحيح سالب إذاً أ × جـ > ب × جـ
و إذا كان أ × جـ < ب × جـ ، جـ عدد صحيح سالب إذاً أ > ب
أى أننا عندما نقسم أو نضرب طرفى المتباينة بواسطة عدد سالب ، نحصل على متباينة اتجاهها عكسى

(3)

: فمثلاً
إذا كان 2 < 8 إذاً 2 + 3 < 8 + 3 ( 5 < 11
و إذا كان 2 + 3 < 8 + 3 ، إذاً 2 < 8
إذا كان 2 × 3 < 8 × 3 ( 6 < 24
و إذا كان 2 × 3 < 8 × 3 ( 6 < 24 ) إذاً 2 < 8
إذا كان 2 < 8 إذاً 2 × 3 > 8 × 3 ( 6 < 24
و إذا كان 2 × 3 > 8 × 3 إذاً 2 < 8

اختبار

اخـتـبـــار

خطأ صواب :اختر الإجابة الصحيحة من بين الأقواس

=
إذاً س إذا كان س + 3 = 5 (1)
[ 2 , 3 , 5 ]

=
إذاً س إذا كان 4س = 12 (2)
[ 6 , 4 , 3 ]

<
إذاً س إذا كان 3س >9 (3)
[ 4 , 3 , 9 ]

<
إذاً س إذا كان – س <2 (4)
[ 1 , 2 , -3 ]

£
إذاً س إذا كان س – 2 £ 11 (5)
[ 13 , 11 , 2 ]

يكون
ضعفه عدد نرمز له ب س (6)
[ س 4
, س 3 ,
س 2 ]

يكون
معكوسه عدد نرمز له بالرمز 2س (7)
[ س -3
,س 2 – ,
س – ]

:أكمل ما يأتى

للطرفين
بإضافة 11 = 3 + س 4 (8)

8 س = 4
+ 11 = +
3 + س 4 فإن
الطرفين من
بحذف 4 × 2 =4 × س فإن
{
} =م. م وتكون س = 2 فإن
Ans.

:اختر الإجابة الصحيحة من بين الأقواس

10 > 4 + س التمثيل البيانى للمتباينة (9)

[ صواب
, خطأ ]

إذا كان أ < ب فإن أ + 3 < ب + 3 (10)
[ صواب
, خطأ ]

المجموع
10