التباديل و التوافيق مشروع للصف الحادي عشر

التباديل والتوافيق أسماء يعبر بها علماء الرياضيات عن مجموعات معينة من الأشياء أو الرموز. والتباديل ترتيبات منظمة لمجموعة من الأشياء، فمثلاً تعد (أ ب جـ) و(أ جـ ب) و(ب أ جـ)، ثلاثة تباديل لمجموعة الرموز أ، ب، جـ. أما التوافيق فهي تلك المجموعات التي تتضمن الأشياء نفسها بغض النظر عن الترتيب، فالمجموعات (أ ب جـ) و(أ جـ ب) و(ب أ جـ) كلها تمثل التوافيق نفسها، بينما تمثل المجموعات (أ ب جـ) و(أ ب د) و(أ جـ د)، توافيق مختلفة.

يطلق مسمى توافقيات على ذلك الفرع من الرياضيات الذي يتناول التباديل والتوافيق. وللتباديل استخدامات عديدة تشمل تحويل المكالمات الهاتفية عبر الأسلاك، وجدولة الإنتاج فى المصانع. ومع استخدام الحاسوب، غدت التباديل مجالاً خصبًا للأبحاث، وذلك لسرعة الحاسوب في القيام بالحسابات المتكررة.

حساب التباديل
سؤالنا عن ¸عدد مجموعات الأحرف التي يمكن تشكيلها من الأحرف الثلاثة أ ، ب، جـ· هو سؤالنا نفسه عن عدد التباديل الممكنة لثلاثة أشياء يؤخذ 3 منها في كل مرة. وبالإمكان الإجابة عن هذا السؤال عن طريق 1- حصر كل الاحتمالات الممكنة 2-التفكير الاستنتاجي 3- استخدام الصيغ الرياضية.

طريقة الحصر. كل ما تحتاجه لإيجاد الجواب هنا هو كتابة كل الاحتمالات الممكنة ومن ثم عدها. وتوضح القائمة أدناه وجود ستة احتمالات، وبالتالي فهناك 6 تباديل لثلاثة أشياء تؤخذ 3 منها في كل مرة.
أ ب جـ ب أ جـ جـ أ ب
أ جـ ب ب جـ أ جـ ب أ
[IMG]file:///C:/Users/User/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.jpg[/IMG]ويمكن أيضًا حصر الاحتمالات الممكنة على هيئة رسم تفرعي غير مقفل يبين خيارات كل خانة.

ويبين الرسم مرة أخرى أن هناك 6 تباديل ممكنة.

طريقة التفكير الاستنتاجي. يمكن أيضًا إيجاد عدد التباديل بوساطة التفكير الاستنتاجي. للخانة الأولى 3 خيارات محتملة هي أ، ب، جـ . ولكل من هذه الخيارات خياران آخران فقط لملء الخانة الثانية، بمجموع 3 × 2 = 6 خيارات. ومع كل واحد من هذه الاحتمالات الستة، يوجد خيار محتمل واحد للخانة الثالثة. أي بمجموع 6×1=6. ولذا فإن عدد احتمالات مجموعات الأحرف تساوي 3 × 2 × 1 = 6.

واللجوء إلى الاستنتاج أفضل من مجرد حصر التباديل لأن التفكير الاستنتاجي يأخذ في الاعتبار كل الاحتمالات الممكنة، بينما قد يغفل أحدها أثناء الحصر، خاصة إذا كان لدينا عدد كبير من الأشياء.

لنفترض مثلاً أن لدينا 26 حرفـًـا بدلا من الأحرف الثلاثة أ ب جـ ، وطلب منا إيجاد إجمالي عدد المجموعات المحتملة والمكونة من 3 أحرف. نلاحظ أن حصر كل الاحتمالات صعب وممل بينما يمكن إيجاد الجواب بسهولة عن طريق التفكير الاستنتاجي. فكل احتمال من 26 خيارًا محتملاً يقع في الخانة الأولى يقابله 25 خيارًا في الخانة الثانية، وهذا يشكل ما مجموعه 650 احتمالا (26×25= 650). ولكل من هذه الـ 650 خيارًا، يتبقى 24 حرفـًا محتملاً لشغل الخانة الثالثة، أي ما مجموعه 15,600 تشكيل محتمل (650 × 24 = 15600). وبالتالي فعدد التباديل الإجمالي يساوي 26 × 25 × 24= 15,600.